So, Freunde der Sonne. Hier kommt nach Ewigkeiten mal das Update:
Es war die Grafikkarte. Was genau daran kaputt war, wurde mir leider nicht gesagt. Ich nehme aber mal an, dass das mit der erwähnten kaputten Klemme zu tun hat. Alternate hat da die Schuld auf sich genommen und mir eine neue Grafikkarte spendiert. Zumindest der Teil des Services war gut. Eine E-Mail mit den Informationen was überhaupt gemacht wurde habe ich jedoch erst auf Nachfrage bekommen. Der PC war schon wieder fast hier, bevor ich das wusste ...
Naja, kurzum, das Problem mit den Abstürzen scheint gefixt zu sein. Ganz selten stürzt jedoch immer noch Firefox trotz stabiler Lan-Verbindung ab und ein paar Fehler tauchen auch noch im Windows-Protokoll auf (vornehmlich der HFC disable service von Intel. Aber generell soll man wohl nicht allzu viel auf die Windows-Protokolle geben, da dort jede noch so kleine Kleinigkeit aufgelistet wird und die Fehler oft überbewertet sind). Also, mal schauen, was die Zukunft bringt.
Euch nochmal vielen Dank für eure Hilfe. Auch wenn sich damit das Problem nicht beheben ließ, so konnte ich definitiv mein Computerverständnis erweitern