Ich kann dir die Corsair Virtouso RGB Wireless SE Empfehlen.
Ich weiß nicht wie deine Hifi Erfahrungen sind, aber da solltest du einen guten Kompromiss zwischen Zocken und Musik hören haben.
Können über USB Adapter Wireless mit >1ms Verzögerung, als auch mit 3,5mm Klinke betrieben werden.
Corsair Virtuoso RGB Wireless SE ab € 199,90 bei idealo:
https://zz6e7.app.goo.gl/Y9J6
Liegen aktuell aber leider etwas über deinem Budget, vielleicht guckst du mal nach Angeboten.
Bluetooth empfehle ich dir nicht zum Zocken, da du immer Latenz haben wirst, was bei Shooter oder ESL spielen ein Nachteil sein kann.
Solltest du beides wollen gibt es aktuell glaube ich nur die Sennheiser GSP670 die aber über 300 kosten.